Si la météo est clémente, nous proposerons aux personnes présentes et interessées une randonnée de difficulté adaptée dans les montagnes alentours le samedi 10 juillet.

• Samuele Anni — Isomorphismes de représentations galoisiennes modulaires et graphes
  Résumé: Dans cet exposé, je vais expliquer comment tester efficacement et effectivement si deux représentations galoisiennes modulaires du groupe absolu de Galois des rationnels sont isomorphes. En particulier, je présenterai de nouvelles bornes optimales sur le nombre de traces à tester. Je discuterai également brièvement des graphes des isomorphismes, des résultats associés sur les algèbres de Hecke et de la construction d'une base de données de représentations.
• Cécile Armana — Bornes de Sturm pour des formes automorphes sur les corps de fonctions
  Résumé: Les bornes de Sturm indiquent combien de coefficients de Fourier successifs suffisent à déterminer une forme modulaire. Pour les formes modulaires classiques, elles fournissent aussi des bornes sur le nombre d'opérateurs de Hecke engendrant l'algèbre du même nom. Cet exposé propose d'étudier la situation pour certaines formes automorphes, dites de Drinfeld, sur les corps de fonctions. Il s'agit d'un travail en commun avec Fu-Tsun Wei (National Tsing-Hua University, Taïwan).
• Pascal Autissier — Répartition du maximum de sommes partielles d'exponentielles
  Résumé: En analogie avec les sommes de caractères, j'explore dans cet exposé la répartition du maximum de certaines sommes partielles d'exponentielles. Plus précisément, je présente un travail en commun avec Bonolis et Lamzouri, obtenant des estimations précises pour la fonction de répartition de ce maximum dans une région uniforme presque optimale, sous une hypothèse de symétrie. Les démonstrations utilisent des outils analytiques et probabilistes, ainsi que des ingrédients profonds de géométrie algébrique.
• François Ballaÿ — Corps d'Okounkov arithmétiques et positivité en géométrie d'Arakelov
  Résumé: En géométrie algébrique, les variétés toriques peuvent être étudiées de façon combinatoire et par des méthodes de géométrie convexe. La théorie des corps d'Okounkov permet de généraliser cette correspondance pour des variétés projectives quelconques, en associant des corps convexes à un fibré inversible. Boucksom et Chen ont développé une approche analogue en géométrie d'Arakelov, en introduisant la notion de corps d'Okounkov arithmétique d'un fibré inversible adélique. Dans cet exposé, je rappellerai cette construction et j'expliquerai comment déterminer la positivité d'un fibré inversible adélique en étudiant les corps d'Okounkov arithmétiques qui lui sont associés. Ce résultat généralise à des variétés projectives quelconques un théorème de Burgos Gil, Moriwaki, Sombra et Philippon, qui ont traité le cas torique. La démonstration utilise des techniques de géométrie diophantienne, et repose sur une version adélique de l'inégalité de Cauchy valable pour les sections globales d'un fibré inversible.
• François Brunault — Mesure de Mahler des polynômes successivement exacts
  Résumé: Je parlerai dans cet exposé de la mesure de Mahler des polynômes en plusieurs variables, et de son lien (le plus souvent conjectural) avec les fonctions $L$. Dans un travail fondamental, Deninger a donné une explication cohomologique de ces relations, sous certaines hypothèses sur le polynôme. Je présenterai un projet en cours avec Riccardo Pengo, où nous continuons cette approche pour les polynômes dits exacts. Je montrerai comment la mesure de Mahler des polynômes successivement exacts est liée conjecturalement aux valeurs spéciales de fonctions $L$ associées à des variétés de dimension de plus en plus petite.
• Marc Hindry — Sur l'arithmétique des surfaces algébriques définies sur un corps fini
  Résumé: Commençons par un problème purement géométrique que je ne sais pas résoudre. Etant donné une surface (lisse, projective) le groupe de Néron-Severi est un groupe de type fini; si $C_1$, … $C_r$ sont des courbes sur la surface formant une base du groupe de Néron-Severi modulo la torsion, le régulateur de Néron-Severi est la valeur absolue du déterminant des nombres d’intersection de $C_i$ et $C_j$.
  Peut- on borner le régulateur en terme par exemple du genre géométrique de la surface ?
  Il s’agit de donner des conditions raisonnables pour cela (il ne peut pas exister de borne « universelle »).
  Lorsque la courbe est définie sur un corps fini de cardinal $q$, le problème devient plus arithmétique et en utilisant fonctions zêta et autres outils arithmétique on peut montrer, sous quelques conditions, que le régulateur est borné par $q$ à la puissance le genre géométrique multiplié par $1 + \epsilon$. En fait, une des conditions est la finitude du groupe de Brauer et on obtient alors la même majoration pour le produit du cardinal du groupe de Brauer par le régulateur. Le résultat est plus général que l’énoncé obtenu par Richard Griffon (2018) pour les surfaces de Fermat, mais moins précis et surtout on n’obtient que «la moitié» de l’analogue du théorème de Brauer-Siegel.
• Samuel Le Fourn — Torsion d'une variété abélienne fixée dans des extensions de corps de nombres
  Résumé: Dans cet exposé, je parlerai du problème de la croissance des points de $\ell^n$-torsion dans une variété abélienne fixée lorsqu'on fait croître le corps de nombres, en lien avec des pentes définies en termes du groupe de monodromie $\ell$-adique de la variété abélienne, d'après des travaux de Hindry−Ratazzi et Zywina.
• Fabien Pazuki — Propriété de Northcott pour les valeurs spéciales de fonctions $L$
  Résumé: On discute d'un travail en cours avec Riccardo Pengo, où la question posée est la suivante. Considérons une famille $F$ d'objets $X$ munis d'une fonction $L(X,s)$. On fixe un entier naturel $n$, et on suppose que la suite des valeurs $L(X,n)$, pour $X$ variant dans $F$, est bornée. Peut-on conclure que la famille $F$ est finie ?
• Baptiste Peaucelle — Représentations galoisiennes modulaires réductibles
  Résumé: Étant donnée une forme modulaire $f$, un théorème de Ribet énonce que seul un nombre fini de représentations galoisiennes modulo $\ell$ associées à $f$ sont réductibles. Dans cet exposé j'expliquerai d'une part comment borner explicitement l'ensemble de ces nombres premiers, en fonction du poids, du niveau, et du caractère de $f$. D'autre part, je montrerai comment calculer cet ensemble des nombres premiers réductibles, ainsi que la forme des représentations résiduelles réductibles de $f$.
• Riccardo Pengo — Enchevêtrement dans la famille des corps de division d'une courbe elliptique à multiplications complexes
  Résumé: L’enchevêtrement d'une famille des corps de nombres « mesure » à quel point cette famille ne parvient pas à être linéairement disjointe. Dans cet exposé, basé sur un travail en commun avec Francesco Campagna, nous montrerons que la famille de corps engendrés par les points de torsion d'une courbe elliptique à multiplications complexes est très peu enchevêtrée. En outre, nous donnerons une condition nécessaire pour avoir un enchevêtrement non trivial, et nous étudierons aussi en détail l'enchevêtrement pour des courbes elliptiques définies sur les rationnels, qui satisfont toujours cette condition.
• Gaël Rémond — Isogénies et représentations $\ell$-adiques
  Résumé: Le but de cet exposé, basé sur un travail en commun avec Éric Gaudron, est d'expliquer le lien, pour une variété abélienne $A$ sur un corps de nombres $K$, entre d'une part les isogénies de degré minimal de $A$ vers une autre variété abélienne sur $K$ et d'autre part l'image des représentations $\ell$-adiques du groupe de Galois absolu de $K$ dans les points de torsion de $A$.